已知 $\alpha>0$⁠，证明：

1. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n^\alpha}$ 关于 $x$ 在 $(0,2\pi)$ 上内闭一致收敛；
2. $\displaystyle\int_0^x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nt}{n^\alpha}\,dt =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-\cos nx}{n^{\alpha+1}}$⁠。