设 $A\in M_n(\mathbb C)$⁠，$f(x)\in\mathbb C[x]$⁠，$g(x)$ 是 $A$ 的最小多项式，且 $(f,g)=d(x)$⁠。证明：

$1.$ $\operatorname{rank}f(A)=\operatorname{rank}d(A)$⁠；

$2.$ $f(A)$ 可逆当且仅当 $(f,g)=1$⁠。