设数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵 $A,B$ 满足

设非零向量 $\alpha, \beta$ 分别满足 $A\alpha=0$ 与 $A^T\beta=0$⁠。

1. 证明存在 $k\in F$⁠，使 $B=k\alpha\beta^T$⁠；
2. 证明存在 $q(x)\in F[x]$⁠，使 $B=q(A)$⁠。