设 $A\in\mathbb R^{m\times n}$⁠，$r(A)=r>0$⁠。

1. 证明存在唯一矩阵 $P\in\mathbb R^{m\times m}$⁠，满足

2. 求 $P$ 的特征多项式与特征子空间；
3. 当

求 $P$ 以及水平拼接矩阵 $B=(P,P)$ 的奇异值分解。