设 $F$ 为数域，$C(M)$ 表示所有与方阵 $M$ 可交换的同阶矩阵组成的集合。令

1. 证明 $C(M)$ 是线性空间；
2. 特征多项式为 $f(x)$ 的矩阵按相似关系分为几类？每类写一个代表；
3. 若 $A$ 的特征多项式为 $f(x)$⁠，求 $\dim C(A)$⁠；
4. 若三阶矩阵 $B$ 满足 $f(B)=0$⁠，求 $\dim C(B)$ 的可能值。