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首页考研真题四川大学 2023 高等代数 例题2.175
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P-2816困难Lv.2考研2023考研四川大学高等代数双线性型对偶空间退化反对称型
四川大学 2023 高等代数 例题2.175
来源：kaoyan-final-20260712:2023-classified::2.6 线性空间与线性映射、2.7 线性变换::例题2.175 | SOURCE_MATERIALS/2023年名校数学专业考研真题分类.pdf | pages 59
考研真题

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题目正文

在 Rn\mathbb R^nRn 上给定实矩阵 AAA⁠，定义双线性函数

(X,Y)=XTAY.(X,Y)=X^TAY.(X,Y)=XTAY.
  1. 证明该函数是内积，当且仅当存在可逆实矩阵 BBB 使
A=BTB;A=B^TB;A=BTB;
  1. 对 α∈Rn\alpha\in\mathbb R^nα∈Rn⁠，令 ρα(X)=(α,X)\rho_\alpha(X)=(\alpha,X)ρα​(X)=(α,X)⁠，并定义
τ:Rn→(Rn)∗,τ(α)=ρα.\tau:\mathbb R^n\to(\mathbb R^n)^*, \qquad \tau(\alpha)=\rho_\alpha.τ:Rn→(Rn)∗,τ(α)=ρα​.

证明 τ\tauτ 为同构当且仅当 AAA 可逆； 3. 若 AAA 为反对称矩阵，且

W⊥={α:(α,β)=0, ∀β∈W},W^\perp=\{\alpha:(\alpha, \beta)=0, \ \forall\beta\in W\},W⊥={α:(α,β)=0, ∀β∈W},

证明

dim⁡W+dim⁡W⊥=n+dim⁡(W∩(Rn)⊥).\dim W+ \dim W^\perp =n+ \dim\bigl(W\cap(\mathbb R^n)^\perp\bigr).dimW+dimW⊥=n+dim(W∩(Rn)⊥).

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AMTOPA最近修改：AMTOPA · 2026/07/12 10:22题目评分：暂无
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中等相似度 28/100首都师范大学 2024 高等代数 第5题解题知识点高度相关中等相似度 26/100南京大学 2023 高等代数 例题2.122解题知识点高度相关简单相似度 22/100山东大学 2023 高等代数 例题2.220解题知识点高度相关中等相似度 22/100大连理工大学 2025 高等代数 第9题解题知识点高度相关简单相似度 19/100天津大学 2026 高等代数 第6题对偶空间简单相似度 16/100中南大学 2024 高等代数 9.3解题知识点高度相关