设 $f\in C^1(a,+\infty)$⁠，且 $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ 存在并为有限数。

1. $\lim_{x\to+\infty}f'(x)$ 是否一定存在？
2. 若 $\lim_{x\to+\infty}f'(x)$ 存在，证明其等于 $0$⁠；
3. 若 $f$ 为 $n$ 阶可导函数，且 $\lim f(x)$ 与 $\lim f^{(n)}(x)$ 均存在，证明所有中间阶导数的极限存在并等于 $0$⁠。