判断下列命题的真假，并说明理由：

1. 若周期函数 $f$ 处处不连续，则 $f$ 一定存在最小正周期；
2. 若周期函数 $f$ 处处不连续，则 $f$ 一定不存在最小正周期；
3. 若周期函数 $f$ 不存在最小正周期，则存在一列正周期收敛于 $0$⁠；
4. 连续的非常值周期函数一定存在最小正周期。