设 $V$ 是 $\mathbb R$ 上的向量空间，$\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 是一组基。定义线性映射 $\mathcal A$ 为

(1)写出 $\mathcal A$ 在此基下的矩阵；

(2)证明 $\mathcal A^n=0$⁠，$\mathcal A^{n-1}\ne0$⁠；

(3)若 $\mathcal B^n=0$⁠，$\mathcal B^{n-1}\ne0$⁠，证明存在一组基使 $\mathcal B$ 的矩阵与(1)相同；

(4)证明所有满足 $M^n=0,M^{n-1}\ne0$ 的 $n$ 阶实矩阵彼此相似。