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首页数学分析厦门大学预推免试题（回忆版）第 3 题：Cesàro 平均与平方和增长
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P-4742中等Lv.1数学分析数列极限Cesàro平均厦门大学预推免估计
厦门大学预推免试题(回忆版)第 3 题：Cesàro 平均与平方和增长
来源：厦门大学2026预推免试题第 3 题
数学分析保研夏令营真题
题目正文

设 an>0a_n>0an​>0⁠，且

lim⁡n→∞a1+⋯+ann=2\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}=2n→∞lim​na1​+⋯+an​​=2

判断并证明是否有

lim⁡n→∞a12+⋯+an2n2=0\lim_{n\to\infty}\frac{a_1^2+\cdots+a_n^2}{n^2}=0n→∞lim​n2a12​+⋯+an2​​=0

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AMTOPA最近修改：AMTOPA · 2026/07/23 13:09题目评分：暂无
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AMTOPALv.4@admin2026/07/22 22:41

Mn:=sup⁡{ai:i≤n},Sn:=∑k=1nakM_{n}:=\sup\{a_i:i\leq n\},S_n:=\sum_{k=1}^{n}a_kMn​:=sup{ai​:i≤n},Sn​:=∑k=1n​ak​⁠，则

lim⁡n→∞ann=lim⁡n→∞Snn−lim⁡n→∞n−1n⋅Sn−1n−1=2−2=0\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n}-\lim_{n\to\infty}\frac{n-1}{n}\cdot\frac{S_{n-1}}{n-1}=2-2=0n→∞lim​nan​​=n→∞lim​nSn​​−n→∞lim​nn−1​⋅n−1Sn−1​​=2−2=0

由于lim⁡k→∞akk=0\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{k}=0limk→∞​kak​​=0⁠，因此∀ε>0,∃N>0\forall \varepsilon>0,\exists N>0∀ε>0,∃N>0⁠，当k>Nk>Nk>N时，有ak<kε≤nεa_k<k\varepsilon\leq n\varepsilonak​<kε≤nε. 因此

Mnn≤max⁡{MNn,max⁡N+1≤k≤nakn}≤max⁡{MNn,ε}\frac{M_n}{n}\leq \max\{\frac{M_{N}}{n},\frac{\max_{N+1\leq k\leq n}a_k}{n}\}\leq \max\{\frac{M_{N}}{n},\varepsilon\}nMn​​≤max{nMN​​,nmaxN+1≤k≤n​ak​​}≤max{nMN​​,ε}

因此lim⁡n→∞Mnn=0\lim_{n\to\infty}\frac{M_n}{n}=0limn→∞​nMn​​=0.因此

0≤a12+a22+⋯+an2n2≤Mn∑k=1nakn2=Mnn⋅Snn→0(n→∞)0\leq \frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n^2}\leq \frac{M_n\sum_{k=1}^{n}a_k}{n^2}=\frac{M_n}{n}\cdot\frac{S_n}{n}\to 0(n\to\infty)0≤n2a12​+a22​+⋯+an2​​≤n2Mn​∑k=1n​ak​​=nMn​​⋅nSn​​→0(n→∞)

因此

lim⁡n→∞a12+⋯+an2n2=0\lim_{n\to\infty}\frac{a_1^2+\cdots+a_n^2}{n^2}=0n→∞lim​n2a12​+⋯+an2​​=0
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