ME ProblemsMathEnthusiast
首页题库分类每日一题排行榜
0登录

分类导航

全部分类
保研夏令营真题40
几何
微积分
数列1
数学分析20
数论
概率论2
每日一题
级数
线性代数
组合数学
考研真题2325
高等代数18
高等数学
ME Problems

© 2026 Math-Enthusiast. MathEnthusiast Problems.

公开状态用户协议隐私政策
题目
首页数学分析厦门大学预推免试题（回忆版）第 2 题：调和部分和幂次下的正项级数
返回题库
全站在线 0
P-4741中等Lv.1数学分析调和级数正项级数厦门大学预推免积分判别法
厦门大学预推免试题(回忆版)第 2 题：调和部分和幂次下的正项级数
来源：厦门大学2026预推免试题第 2 题
数学分析保研夏令营真题
题目正文

设 q>0q>0q>0⁠，判断级数

∑n=1∞1n(1+12+⋯+1n)q\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\left(1+\frac12+\cdots+\frac1n\right)^q}n=1∑∞​n(1+21​+⋯+n1​)q1​

的敛散性。

AI 评分

作答输入Markdown / LaTeX
实时预览
自动渲染

输入解答后会在这里实时预览。

文字解答会自动保存在此设备。

登录后可使用 AI 评分。

参考答案

AMTOPA最近修改：AMTOPA · 2026/07/23 13:09题目评分：暂无
评论

登录并达到 Lv.1 后可以评论。

AMTOPALv.4@admin2026/07/22 22:14

注意到

lim⁡n→∞1n(1+12+⋯+1n)q1n(ln⁡n)q=1\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{{n\left(1+\frac12+\cdots+\frac1n\right)^q}}}{\frac{1}{n(\ln n)^q}}=1n→∞lim​n(lnn)q1​n(1+21​+⋯+n1​)q1​​=1

也即原级数与∑n=2∞1n(ln⁡n)q\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^q}∑n=2∞​n(lnn)q1​同敛散. 由积分判别法知q>1q>1q>1时∑n=2∞1n(ln⁡n)q\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^q}∑n=2∞​n(lnn)q1​收敛，0<q≤10<q\leq 10<q≤1时发散，因此q>1q>1q>1时原级数收敛，0<q≤10<q\leq 10<q≤1时原级数发散.

题目操作
点击公式

题干离开屏幕后自动出现，回到题干自动收起；可拖动并记住位置。

登录后可以收藏题目、标记完成和同步做题进度。

题目质量评分

登录后可为题目打分

上一题厦门大学预推免试题(回忆版)第 1 题：导数倒数的加权恒等式下一题厦门大学预推免试题(回忆版)第 3 题：Cesàro 平均与平方和增长

相似题目

按知识点与解题方法标签排序，最多显示 6 道。

推荐规则
比较知识点、定理和方法等有效标签；完全一致的标签按完整贡献，高相似标签按相似比例一对一贡献，并结合覆盖程度与稀有度计算相似度得分。学校、来源、年份和学习阶段不参与。AI 补全标签可用于内部召回，但未经作者确认的标签不会在这里公开。算法版本：soft-tags-v4完整算法
简单相似度 53/100中南大学 2024 数学分析 1.4调和级数困难Lv.2相似度 35/100东南大学 2024 数学分析 第14题正项级数简单相似度 33/100山东大学 2023 数学分析 例题1.21(2)正项级数简单相似度 32/100厦门大学 2025 数学分析 第1题正项级数简单相似度 31/100中国海洋大学 2024 数学分析 2.4正项级数中等相似度 27/100云南大学 2024 数学分析 3正项级数