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已知对称矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right),$ 其中 $A_{11}$ 是方阵，证明以下条件等价： (1) $A$ 正定。 (2) $A_{11}$ 与 $A_{22}-A_{12}^T{A}_{11}^{-1}{A}_{12}$ 都正定。...

已知线性方程组 $\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=-3,\\ x_1+\lambda x_2+x_3=-3,\\ x_1+x_2+\lambda x_3=-3.\end{array}$ 当 $\lambda$ 为何值时，方程组无解、有解？有解时求通解。

已知球面 $\Gamma :x^2+y^2+z^2=a^2(a>0),$ 球面 $\Sigma$ 的球心在 $\Gamma$ 上，半径为 $R$。当 $R$ 为何值时，球面 $\Sigma$ 位于 $\Gamma$ 内的面积取最大值？并求出最大面积。

已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 连续，且 $f(t)=2{\iint }_{x^2+y^2\le t^2}(x^2+y^2)f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)dxdy+t^4,t>0.$ 求 $f(t)$。

已知 $f(x)=x^3\left(e^{1/x}+e^{-1/x}-c\right),$ 且满足 ${\lim }_{x\to \infty }[f(x)-ax-b]=0.$ 求 $a,b,c$，并阐述其几何意义。

已知 $f(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n^2\ln (1+n)}.$ 讨论 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的连续性，以及在 $x=-1$ 和 $x=1$ 处的可导性。

已知定义在 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\}$ 上的二阶连续可微函数 $f(x,y)$ 满足 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=x^2+y^2.$ 求二重积分...

设 $f(x)=x^{\alpha },x\in [1,+\infty ),$ 求 $\alpha$ 的取值范围，使得 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上一致连续。