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计算 ${\iint }_D\sqrt{|y-x^2|}dxdy,D=\{(x,y)\mid x^2\le y\le 2\}.$ 核查说明：第 7 题与第 6(2) 在当前页面上完全重复，疑似原 PDF 排版重复或漏题。

设 $z=z(x,y)$ 二阶连续可微，求 $a$ 的值，使得通过 $u=x+3y,v=x+ay$ 将 $6z_{xx}+z_{xy}-z_{yy}=0$ 化为 $z_{uv}=0.$

解答如下问题： (1) 若 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}=a,$ 则 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a.$ (2) 若 $f(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上可导，且...

判断题。正确的给出证明，错误的给出反例。 (1) 任何数列都有单调的子列。 (2) 若级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n})$ 收敛，且 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0,$ 则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛。 (3) 设 $f(x)$...

计算题。 (1) 求极限 ${\lim }_{n\to \infty }\left(\ln n-{\sum }_{k=1}^n\frac{\ln k}{n}\right).$ (2) 求极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^x-\cos \frac{x}{2}}{x\left(\sin x-\sin \frac{x}{2}\right)}.$ (3)...

解方程组 $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=-4x-2y+\frac{2}{e^t-1},\\ y^{\prime }=6x+3y-\frac{3}{e^t-1},\end{array}$ 其中 $x,y$ 是关于 $t$ 的函数。

解方程 $y=x\left(y^{\prime }+\sqrt{1+y^{\prime 2}}\right).$

解方程 $y^{3}dx+2(x^2-x{y}^2)dy=0,y(1)=1.$