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首页高等代数厦门大学预推免试题（回忆版）第 5 题：三阶矩阵行列式的插值计算
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P-4744中等Lv.1高等代数行列式特征多项式多项式插值厦门大学预推免
厦门大学预推免试题(回忆版)第 5 题：三阶矩阵行列式的插值计算
来源：厦门大学2026预推免试题第 5 题
高等代数保研夏令营真题
题目正文

设 AAA 为三阶矩阵，EEE 为三阶单位矩阵，求 ∣A+3E∣|A+3E|∣A+3E∣⁠。分别讨论：

(1)∣A−E∣=∣A−2E∣=∣A+2E∣=0|A-E|=|A-2E|=|A+2E|=0∣A−E∣=∣A−2E∣=∣A+2E∣=0⁠；

(2)∣A−E∣=∣A−2E∣=∣A+2E∣=2|A-E|=|A-2E|=|A+2E|=2∣A−E∣=∣A−2E∣=∣A+2E∣=2⁠。

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AMTOPA最近修改：AMTOPA · 2026/07/23 13:09题目评分：暂无
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AMTOPALv.4@admin2026/07/23 10:35

(1)AAA的全部特征值分别为1,2,−21,2,-21,2,−2⁠，因此A+3EA+3EA+3E的特征值分别为4,5,14,5,14,5,1⁠，因此∣A+3E∣=20|A+3E|=20∣A+3E∣=20.

(2)令f(t)=∣A+tE∣,g(t)=f(t)−2f(t)=|A+tE|,g(t)=f(t)-2f(t)=∣A+tE∣,g(t)=f(t)−2为至多三次多项式. g(−1)=g(−2)=g(2)=0g(-1)=g(-2)=g(2)=0g(−1)=g(−2)=g(2)=0⁠，因此f(t)=(t+1)(t+2)(t−2)+2f(t)=(t+1)(t+2)(t-2)+2f(t)=(t+1)(t+2)(t−2)+2⁠，故∣A+3E∣=f(3)=22|A+3E|=f(3)=22∣A+3E∣=f(3)=22.

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