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设 $B$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中的单位开球，函数 $u\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ 满足： (i) $u$ 是 $B$ 上的非零函数； (ii) $u{|}_{\partial B}=0$； (iii) 存在 $\lambda \in \mathbb{R}$，使得在 $B$ 上...

设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}A,& 0\le x\le \pi ,\\ -A,& -\pi \le x<0,\end{array}A\ne 0.$ 求该函数在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的 Fourier 级数，并证明...

讨论 $\sin (1/x^2)$ 在 $(0,1]$ 与 $[1,\infty )$ 上的一致连续性。

设 $f$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 上的连续函数，且在原点沿任意方向的方向导数存在。问 $f$ 在原点是否一定可微；若是则证明，若否给出反例。

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，线性变换 $\phi :{\mathbb{R}}^{n\times n}\to {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 定义为 $\phi (X)=AXA,\forall X\in {\mathbb{R}}^{n\times n}.$ (1) 若...

设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 为实正定矩阵。证明 $|A|\le a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}.$

设 $V_1,V_2,V_3$ 都是有限维线性空间 $V$ 的子空间。证明 $\dim (V_1\cap V_2)+\dim ((V_1+V_2)\cap V_3)=\dim (V_2\cap V_3)+\dim ((V_2+V_3)\cap V_1).$

设 $\mathbb{R}$ 为实数域，$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$、$\beta ,\gamma \in {\mathbb{R}}^{n\times 1}$、$a\in \mathbb{R}$。证明...

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 1& a& 1\\ a& 1& 1\end{array}\right),\beta =\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right).$ 若方程组 $AX=\beta$ 有无穷多解，求 $a$ 的值，并求正交矩阵 $Q$，使 $Q^{T}AQ$ 为对角矩阵。