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完成下列填空： (1) 设 $v=(-1,1,0)$、$w=(1,1,1)$，求 $v\times (v\times (v\times (v\times w))).$ (2) 求两直线...

设 $A$ 正定对称，证明 $({\alpha }^T\beta {)}^2\le ({\alpha }^{T}A\alpha )({\beta }^T{A}^{-1}\beta )$ 并判定等号。

线性映射 $T:M_n(\mathbb{R})\to M_n(\mathbb{R})$，$T(X)=(X+X^T)/2$。求核与秩。

设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 0& 2\\ 2& 0& 2& 1\\ 3& 1& 4& 0\end{array}\right).$ 求方程 $(x_1,x_2,x_3,x_4)A^{T}A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)=0$ 的全部实解。

设 $A=J_3(\lambda )$。证明与 $A$ 可交换的每个三阶矩阵都是 $A$ 的多项式。

设向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，且 ${\beta }_1=2{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\beta }_2=-{\alpha }_1+3{\alpha }_2+4{\alpha }_3,{\beta }_3={\alpha }_1+{\alpha }_3.$ 判断...

设 $n\ge 2$，求行列式 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}{a}_1+b_1& a_1+b_2& \cdots & a_1+b_n\\ a_2+b_1& a_2+b_2& \cdots & a_2+b_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_n+b_1& a_n+b_2& \cdots & a_n+b_n\end{array}\right|,$ ...

证明曲面 $\cos (3x+2z)=h(4y-z)$ 是柱面。

计算曲线积分 $I={\int }_L\frac{(x-y)dx+(x+4y)dy}{x^2+4y^2},$ 其中 $L$ 从 $(1,0)$ 沿上半圆 $x^2+y^2=1$ 到 $(-1,0)$。

设 $f$ 是 $[0,+\infty )$ 上的连续函数，并满足 $f(t)=t+\frac{1}{4\pi }{\iiint }_{x^2+y^2+z^2\le t^2}\frac{f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})}{x^2+y^2+z^2}dxdydz,t\ge 0.$ 求 $f$。

设 $\delta \in [0,+\infty )$，讨论 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin (x^{1+\delta }y)}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (0,0),\end{array}$ 在原点的连续性与可微性。