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设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，线性变换 $\phi :{\mathbb{R}}^{n\times n}\to {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 定义为 $\phi (X)=AXA,\forall X\in {\mathbb{R}}^{n\times n}.$ (1) 若...

设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 为实正定矩阵。证明 $|A|\le a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}.$

设 $V_1,V_2,V_3$ 都是有限维线性空间 $V$ 的子空间。证明 $\dim (V_1\cap V_2)+\dim ((V_1+V_2)\cap V_3)=\dim (V_2\cap V_3)+\dim ((V_2+V_3)\cap V_1).$

设 $\mathbb{R}$ 为实数域，$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$、$\beta ,\gamma \in {\mathbb{R}}^{n\times 1}$、$a\in \mathbb{R}$。证明...

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 1& a& 1\\ a& 1& 1\end{array}\right),\beta =\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right).$ 若方程组 $AX=\beta$ 有无穷多解，求 $a$ 的值，并求正交矩阵 $Q$，使 $Q^{T}AQ$ 为对角矩阵。

计算 $n$ 阶行列式 $\left|\begin{array}{ccccc}{1}^2& 2^2& 3^2& \cdots & n^2\\ 2^2& 3^2& 4^2& \cdots & (n+1{)}^2\\ 3^2& 4^2& 5^2& \cdots & (n+2{)}^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ n^2& (n+1{)}^2& (n+2{)}^2& \cdots & (2n-1{)}^2\end{array}\right|.$ ...

求次数最小的多项式 $f(x)$，使得 $(x+1{)}^3\mid f(x)-1,(x-1{)}^2\mid f(x)+1.$

设数列 $\{{\lambda }_n\}$ 满足 ${\lambda }_n\in \left(\frac{1}{e},+\infty \right),{\mathrm{liminf}}_{n\to \infty }{\lambda }_n>\frac{1}{e}.$ 令...