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首页考研真题湖南大学 2023 高等代数 例题2.181
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P-2822困难Lv.2考研2023考研湖南大学高等代数最小多项式多项式平移算子Pascal矩阵
湖南大学 2023 高等代数 例题2.181
来源：kaoyan-final-20260712:2023-classified::2.7 线性变换::例题2.181 | SOURCE_MATERIALS/2023年名校数学专业考研真题分类.pdf | pages 60
考研真题

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题目正文

设

K[x]n={f(x)∈K[x]:deg⁡f<n}∪{0},K[x]_n=\{f(x)\in K[x]:\deg f<n\}\cup\{0\},K[x]n​={f(x)∈K[x]:degf<n}∪{0},

并定义线性变换

A(f)(x)=f(x)+f′(x)+f′′(x)2!+⋯+f(n−1)(x)(n−1)!.\mathcal A(f)(x)=f(x)+f'(x)+\frac{f''(x)}{2!}+ \cdots+\frac{f^{(n-1)}(x)}{(n-1)!}.A(f)(x)=f(x)+f′(x)+2!f′′(x)​+⋯+(n−1)!f(n−1)(x)​.

令

εj=xj,ηj=(x−1)j(0≤j≤n−1).\varepsilon_j=x^j, \qquad \eta_j=(x-1)^j \quad(0\le j\le n-1).εj​=xj,ηj​=(x−1)j(0≤j≤n−1).
  1. 求 A\mathcal AA 在基 (ε0,…,εn−1)(\varepsilon_0, \ldots, \varepsilon_{n-1})(ε0​,…,εn−1​) 下的矩阵；
  2. 证明 (η0,…,ηn−1)(\eta_0, \ldots, \eta_{n-1})(η0​,…,ηn−1​) 是一组基；
  3. 求过渡矩阵 BBB⁠，使
(η0,…,ηn−1)=(ε0,…,εn−1)B;(\eta_0, \ldots, \eta_{n-1}) =(\varepsilon_0, \ldots, \varepsilon_{n-1})B;(η0​,…,ηn−1​)=(ε0​,…,εn−1​)B;
  1. 证明 A\mathcal AA 可逆，并求 A−1\mathcal A^{-1}A−1⁠；
  2. 判断 A\mathcal AA 是否可对角化。

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AMTOPA最近修改：AMTOPA · 2026/07/12 10:22题目评分：暂无
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