ME Problems

【命题辨析 / 找反例】回忆材料中的原命题为：设 $G$ 是有限群，$H\le G$⁠，且 $|H|$ 与指数 $[G:H]$ 互素，则 $H⊴G$⁠。 判断该命题是否成立；若不成立，请给出反例并验证全部条件。

设 $(X,\mathcal{F},\mu )$ 为有限测度空间。证明：$f_k\to 0$ 依测度收敛，当且仅当 ${\int }_X\frac{f_k^2}{1+f_k^2}\mathrm{d}\mu ⟶0$ 。

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设线性变换 $\phi$ 的最小多项式为 $m_{\phi }(x)=(x-2{)}^2(x-1)$ 。 判断并证明是否有 $V=\ker (I_V-\phi )\oplus \ker ((2I_V-\phi {)}^2)$ 。

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设 $A\in M_n(\mathbb{C})$⁠。证明：存在可逆矩阵 $S$ 和对称矩阵 $T$⁠，使得 $A=ST$⁠。

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设 $A$ 为三阶矩阵，$E$ 为三阶单位矩阵，求 $|A+3E|$⁠。分别讨论： (1)$|A-E|=|A-2E|=|A+2E|=0$⁠； (2)$|A-E|=|A-2E|=|A+2E|=2$⁠。